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1 0.21-0.93 420 你有没有想过，
2 1.35-3.51 300 为什么一个普通人明明会算账，
3 3.81-5.07 480 会数钱会看表，
4 5.55-7.35 180 但只要稍微往数学深处，
5 7.53-8.07 480 多走一步，
6 8.55-10.05 420 立刻就觉得自己像个傻子，
7 10.47-11.55 300 这不是你的问题，
8 11.85-16.11 600 至少不完全是我们先看一个真实发生在美国的故事。
9 16.71-17.25 360 八十年代，
10 17.61-20.85 360 有家快餐连锁店推出了四分之一磅的汉堡，
11 21.21-21.69 540 卖的不错，
12 22.23-23.07 240 竞争对手一看，
13 23.31-23.91 540 这不行啊。
14 24.45-27.21 240 于是推出了价格更便宜的三分之一磅，
15 27.45-28.77 300 汉堡用料更多，
16 29.07-29.67 480 价格更低。
17 30.15-30.81 480 按常理说，
18 31.29-32.85 600 消费者应该疯抢才对，
19 33.45-34.95 720 结果销量惨不忍睹。
20 35.67-36.63 360 公司派人去调查，
21 36.99-37.23 120 发现，
22 37.35-40.77 480 很多顾客真诚的相信四分之一比三分之一大，
23 41.25-42.81 1620 因为四比三大嘛，
24 44.43-47.61 480 这是美国消费者实实在在的数学认知水平。
25 48.09-50.01 660 这家公司因此亏了不少钱，
26 50.67-54.57 480 最后不得不把三分之一磅改名成更好理解的说法，
27 55.05-57.03 240 瞧瞧数学对人的折磨，
28 57.27-58.89 480 从简单的分数就已开始。
29 59.37-61.48 440 再看一个个更贴近生活的例子。
30 61.92-64.14 520 你上班单休上六休一，
31 64.66-67.45 490 你朋友上班双休上两天半休一天，
32 67.94-71.42 120 你觉得单休只是比双休少休息了那么一点点，
33 71.54-71.78 530 对吧？
34 72.31-73.66 240 算一下单休时，
35 73.9-76.12 570 你的休息时间是工作日的六分之一，
36 76.69-79.39 480 双休时你的休息时间是工作日的五分之二，
37 79.87-82.18 360 你的休息时间可不是少了一点点，
38 82.54-84.34 600 而是暴跌了百分之五十八。
39 84.94-86.26 640 这个差距大到什么程度？
40 86.9-89.9 490 大道单休的人会觉得人生就是用来工作的。
41 90.39-94.35 420 而双休的人会觉得工作之外还有生活同一个城市，
42 94.77-95.49 610 同一类岗位，
43 96.1-97.6 450 仅仅因为休息制度不同，
44 98.05-99.07 180 两个人的生命体验，
45 99.25-100.15 610 就天差地别。
46 100.76-103.28 530 数学在这里扮演了那个沉默的裁判。
47 103.81-104.29 620 他不说话，
48 104.91-106.65 450 但他用冰冷的数字告诉你，
49 107.1-109.38 550 你被剥削的程度远超你的想象。
50 109.93-110.53 590 再看收入，
51 111.12-111.96 360 你月薪六千，
52 112.32-112.98 240 扣掉五千，
53 113.22-113.46 240 房租、
54 113.7-113.94 240 水电、
55 114.18-114.42 180 吃饭，
56 114.6-115.93 530 通勤手里剩一千，
57 116.46-117.6 730 你掌薪到八千，
58 118.33-118.57 180 扣掉。
59 118.75-119.11 120 同样的，
60 119.23-121.35 470 五千固定开销手里剩三千，
61 121.82-123.68 670 你的工资涨了百分之三十三，
62 124.35-126.75 540 但你实际可支配的钱涨了两倍，
63 127.29-129.69 760 这就是为什么有钱人越来越有钱？
64 130.45-132.37 240 因为数学在收入这件事上，
65 132.61-134.05 300 从来不是线性运作的。
66 134.35-137.65 580 当一个人的固定开销只占收入的很小一部分时，
67 138.23-141.32 390 他每多赚一块钱几乎都是可支配收入。
68 141.71-143.15 539 而当你是个月光族时，
69 143.689-145.73 180 掌心的大部分被固定开销，
70 145.91-146.09 630 吃掉，
71 146.72-148.7 600 你几乎感受不到生活质量的变化。
72 149.3-151.58 120 数学用这种方式悄悄固化了，
73 151.7-153.2 490 阶层非是通过阴谋，
74 153.69-156.8 730 仅是通过指数级的运算股票也是一样，
75 157.53-158.49 240 先涨百分之五，
76 158.73-159.63 550 再跌百分之五。
77 160.18-161.14 120 反复几次之后，
78 161.26-162.099 551 你的钱就没了。
79 162.65-164.09 539 你以为是涨跌幅抵消。
80 164.629-166.79 610 实际上每次乘的是零点九五，
81 167.4-168.42 640 成不了几次就归零，
82 169.06-169.84 360 反过来也一样，
83 170.2-171.16 240 先跌百分之五，
84 171.4-172.78 120 再涨百分之五亏的，
85 172.9-176.68 550 还是你这种非对称性击穿了普通人的直觉防线，
86 177.23-181.22 380 你凭感觉操作股市数学在背后冷笑好了，
87 181.6-183.76 360 如果你觉得这些只是生活小窍门，
88 184.12-185.86 480 那我们再往深处走一走，
89 186.34-190.78 410 看看数学是怎么从童年开始就一步步给你设下埋伏的。
90 191.19-193.76 300 你小时候学乘法老师告诉你，
91 194.06-195.68 180 三乘以二就是三个二，
92 195.86-197.18 440 加起来你信了。
93 197.62-200.56 300 然后有一天你学到负数三乘以负一，
94 200.86-201.7 480 老实说是负三，
95 202.18-202.96 360 你开始懵了，
96 203.32-204.88 240 三个负一加起来是负三，
97 205.12-205.54 540 这我懂，
98 206.08-207.34 180 但负一乘以负一，
99 207.52-211.02 600 为什么等于正一老师可能会说这是规定，
100 211.62-213.06 590 你问为什么这样规定，
101 213.65-214.97 530 老实说你记住就行了。
102 215.5-218.14 240 其实这句话的潜台词是你的直觉，
103 218.38-220.12 640 已经跟不上数学的逻辑了。
104 220.76-224.88 480 负负得政这件事从提出到被欧洲数学家普遍接受，
105 225.36-226.32 460 花了一千多年。
106 226.78-230.68 710 迪卡尔那种级别的大佬都把复数的根叫做甲根。
107 231.39-234.08 350 你想想一个连迪卡尔都觉得别扭的东西，
108 234.43-236.409 561 你一个小学生能不觉得折磨吗？
109 236.97-238.47 710 加法交换律也是如此。
110 239.18-241.16 750 六乘以七等于七乘以六，
111 241.91-243.47 410 成年人觉得这是天经地义。
112 243.88-244.78 610 但你想过没有？
113 245.39-248.93 550 六个七和七个六在直觉上是完全不同的东西。
114 249.48-250.86 300 六个七是你有六组，
115 251.16-253.68 300 每组七个七个六是你有七组，
116 253.98-254.58 580 每组六个。
117 255.16-258.28 820 为什么这两个完全不同的操作会得到同样的结果。
118 259.1-259.58 120 表面上看，
119 259.7-260.84 500 这是乘法交换律，
120 261.34-262.6 490 但在更深的层次上，
121 263.09-265.22 240 这是因为一维空间中的线性变换，
122 265.46-266.12 530 具有交换性。
123 266.65-267.49 620 到了二维空间，
124 268.11-272.34 300 举阵乘法就不满足交换律了两个旋转矩阵相乘，
125 272.64-273.12 240 顺序不同，
126 273.36-273.84 510 结果不同。
127 274.35-274.83 420 也就是说，
128 275.25-277.77 520 你从小学到大学的数学教育，
129 278.29-279.49 450 本质上是在告诉你，
130 279.94-284.2 650 你在小学建立的直觉到了大学会一部分一部分的崩塌。
131 284.85-286.77 300 这种持续不断的认知颠覆，
132 287.07-289.47 570 就是数学折磨人的核心机制之一。
133 290.04-291.66 500 零也是一个折磨人的概念。
134 292.16-292.94 180 玲表示没有，
135 293.12-293.84 440 这很好理解，
136 294.28-295.48 300 但零不能做除数，
137 295.78-296.8 570 这就让人困惑了。
138 297.37-297.67 460 为什么？
139 298.13-300.53 690 因为除法的定义是乘法的逆运算，
140 301.22-302.72 359 如果零可以做除数，
141 303.079-308.04 680 那一除以零等于多少等于一个数 x 使得零乘以 x 等于一，
142 308.72-310.46 300 但零乘以任何数都是零，
143 310.76-311.48 470 不可能等于一，
144 311.95-317.29 240 所以一除以零不存在那零除以零呢零乘以任何数都是零，
145 317.53-321.7 620 所以零除以零可以是任何数数学拒绝这种模棱两可，
146 322.32-324.66 600 所以他干脆规定零不能做除数。
147 325.26-326.7 420 这个规定看似武断，
148 327.12-329.16 490 实则是为了保持逻辑一致性，
149 329.65-331.99 520 但普通人不需要了解这些背后的逻辑。
150 332.51-333.89 420 他们只记住了一条规矩，
151 334.31-335.39 420 然后困惑一辈子，
152 335.81-338.81 420 但真正把数学推上折磨之王宝座的，
153 339.23-342.53 680 是一次发生在两千五百年前的学术惨案。
154 343.21-345.07 550 古希腊必达格拉斯学派，
155 345.62-347.78 560 这帮人相信一个颠扑不破的真理，
156 348.34-349.72 120 宇宙万物皆可用。
157 349.84-351.76 610 整数或整数的比来表示，
158 352.37-354.349 691 这是他们整个学派的世界关基石。
159 355.04-357.08 540 毕达格拉斯本人是个传奇人物，
160 357.62-361.27 580 他游历埃及和巴比伦学习了大量东方数学知识。
161 361.85-362.57 180 回到希腊后，
162 362.75-364.41 240 创立了这个学派学派，
163 364.65-367.13 630 不仅研究数学还是一个宗教团体，
164 367.76-369.38 740 相信树是宇宙的本源，
165 370.12-370.72 420 对他们来说，
166 371.14-374.08 480 整数和整数之比就是神圣秩序的象征。
167 374.56-377.63 560 然后有一天学派里有人发现了一个问题，
168 378.19-379.87 240 一个边长为一的正方形，
169 380.11-381.61 690 它的对角线长度是多少？
170 382.3-385.13 550 根据勾股定理这个数的平方等于二，
171 385.68-388.05 690 但这个数写不成任何两个整数的比，
172 388.74-389.46 360 不管你怎么试，
173 389.82-391.02 240 你找不到两个整数，
174 391.26-394.02 600 p 和 q 使得 p 除以 q 的平方等于二。
175 394.62-396.0 520 因为如果这样的分数存在，
176 396.52-398.41 620 你可以把它约分成最简分数，
177 399.03-401.49 590 然后推导出分子与分母都是偶数。
178 402.08-404.12 520 这同最简分数的定义矛盾，
179 404.64-406.2 580 这个证明简洁而要命，
180 406.78-407.68 690 被称为归谬法。
181 408.37-411.43 530 据说发现这个秘密的人被同伴扔进了海里，
182 411.96-414.06 600 这是数学史上的第一次大危机。
183 414.66-415.44 460 从这一刻起，
184 415.9-419.15 490 人类被迫承认几何直觉是靠不住的。
185 419.64-421.68 610 你可以画出一个正方形的对角线，
186 422.29-424.57 630 但你永远写不出它精确的长度。
187 425.2-427.36 120 这种感觉就像你发现自己好了，
188 427.48-428.26 180 三年的女朋友，
189 428.44-429.94 660 其实是开心圆圆一样。
190 430.6-431.56 300 那种感觉怎么说呢？
191 431.86-433.07 590 既膈应又兴奋，
192 433.66-436.18 580 根号二的存在是一个里程碑式的事件。
193 436.76-437.3 480 在此之前，
194 437.78-440.83 750 数学是直观的几何学木匠做家具、
195 441.58-442.66 660 建筑师造神庙，
196 443.32-444.52 680 数学家研究图形，
197 445.2-446.22 180 一切都有看得见、
198 446.4-446.82 120 摸得着的。
199 446.94-447.95 60 实体根号。
200 448.01-449.51 180 二的出现就是你的开心。
201 449.69-451.01 510 圆圆突然开口说话，
202 451.52-452.8 300 你好哥哎，
203 453.1-455.44 180 套了雄性荷尔蒙的声音，
204 455.62-458.0 120 让你瞬间回缩成花生米根号。
205 458.12-458.18 300 二、
206 458.48-462.2 450 证明了世界上存在着无法被理性完全捕捉的东西，
207 462.65-466.79 590 你可以无限逼近他用越来越精确的分数去近似他，
208 467.38-468.88 490 但你永远抓不住他的本质。
209 469.37-472.37 770 这个发现催生了一个全新的数域无理数、
210 473.14-476.22 240 有理数和无理数合起来叫实数实数。
211 476.46-477.66 300 这个翻译也很有意思，
212 477.96-478.98 540 真实存在的数。
213 479.52-480.96 240 但问题是无理数，
214 481.2-482.7 400 恰恰是最不实在的东西。
215 483.1-484.24 360 因为它无限不循环，
216 484.6-485.62 120 你永远写不完，
217 485.74-486.76 120 它更折磨。
218 486.88-488.02 120 人的是圆周率。
219 488.14-490.83 570 派派是圆的周长与直径之比，
220 491.4-493.86 720 这是一个所有文明都独立发现的重要常处。
221 494.58-496.86 650 古埃及人算出派约等于三点一六。
222 497.51-499.25 740 巴比伦人算出三点一二五，
223 499.99-505.21 460 中国古代的祖冲之算出三点一四一五九二六到三点一四一五九二七之间，
224 505.67-508.43 360 但全部这些近似值都有一个共同的问题，
225 508.79-508.85 300 派，
226 509.15-509.99 480 并非一个分数。
227 510.47-511.52 240 他像根号二一样，
228 511.76-513.36 750 无理无限不循环。
229 514.11-514.83 420 一五九三年，
230 515.25-519.15 320 法国数学家韦达发表了一个关于派的无穷乘积公式，
231 519.47-526.64 300 这是人类第一次用无穷的代数运算来精确表示一个几何常数维达的工作标志着一个重要的转折，
232 526.94-528.74 560 原不再只是木匠的碎屑，
233 529.3-530.77 580 它变成了代数的结构。
234 531.35-531.89 480 在此之前，
235 532.37-533.03 610 原始图形。
236 533.64-534.18 420 在此之后，
237 534.6-536.36 180 原是逻辑这一转变，
238 536.54-538.36 240 意味着人类对数学的理解，
239 538.6-540.1 610 从看得见走向了想得通。
240 540.71-541.88 470 但想得通的前提是，
241 542.35-544.329 591 你必须放弃看得见的执念，
242 544.92-547.05 120 这对普通人来说无异于要求。
243 547.17-547.89 240 你放下开心，
244 548.13-549.39 530 远远是个汉字的执念，
245 549.92-550.76 240 去陪他同床，
246 551.0-551.18 240 共枕，
247 551.42-551.9 500 携手一生。
248 552.4-552.58 300 然而，
249 552.88-554.2 480 数学的残忍之处在于，
250 554.68-556.57 120 他永远不会停手根号，
251 556.69-557.83 120 二的事情还没消化。
252 557.95-562.19 700 完中世纪的欧洲人又遇到了一个新恶魔负数。
253 562.89-566.74 520 你说欠债可以用负数表示借钱可以用负数表示，
254 567.26-569.0 460 这在今天看来是天经地义。
255 569.46-573.3 660 但在十六世纪的欧洲富数的地位跟巫术差不多。
256 573.96-575.46 590 数学家们争论的焦点是，
257 576.05-577.25 420 一个比林还小的树，
258 577.67-578.57 630 到底存不存在？
259 579.2-580.4 240 零已经够玄乎了，
260 580.64-581.18 240 什么都没有，
261 581.42-582.92 660 怎么还能比什么都没有更少。
262 583.58-586.28 240 当时最主流的数学观点是负数，
263 586.52-587.6 450 在数学上没有意义，
264 588.05-589.67 180 他只出现在会计账簿里。
265 589.85-590.99 540 作为一种记账符号，
266 591.53-591.95 240 数学家，
267 592.19-594.95 570 卡尔达诺在解方程时遇到了负数根，
268 595.52-596.84 450 他称之为虚构的解，
269 597.29-600.05 500 并且明确表示这种解没有任何实际意义，
270 600.55-604.57 610 直到牛顿出现硬生生将负数按进了数学体系里。
271 605.18-606.74 530 牛顿为什么有这个魄力？
272 607.27-610.68 240 因为他研究物理物理问题里经常出现方向，
273 610.92-611.52 660 相反的量，
274 612.18-614.28 530 比如向上为正向下为负，
275 614.81-616.62 120 没有负数物理方程，
276 616.74-617.58 680 根本写不出来。
277 618.26-621.68 520 牛顿用物理应用的刚需倒逼数学家承认负数，
278 622.2-624.9 180 这说明纯数学家自己都不情愿。
279 625.08-627.49 180 接受负述是物理学家的拳头，
280 627.67-631.97 600 把他们打服的一个连顶尖数学家都抵触了几百年的概念，
281 632.57-634.85 500 普通人觉得折磨再正常不过了，
282 635.35-637.45 120 毕竟你自己可以不在乎开心。
283 637.57-638.59 370 圆圆是男是女，
284 638.96-642.62 180 但要劝父母接受这个男儿媳掏真金白银的彩礼，
285 642.8-643.82 600 娶到家可就难喽。
286 644.42-647.37 180 比负数更过分的是虚数虚述。
287 647.55-649.35 550 这个翻译其实已经说明了问题，
288 649.9-650.44 300 什么叫虚，
289 650.74-651.88 590 就是不存在的意思？
290 652.47-653.85 240 i 等于根号负一，
291 654.09-656.25 300 但任何一个实数的平方都是正数，
292 656.55-659.58 500 所以不存在一个实数平方之后等于负数。
293 660.08-660.92 180 那 i 是什么？
294 661.1-663.2 600 是数学家映造出来的一个符号。
295 663.8-666.74 180 意大利数学家卡尔达诺在解三次方程的时候，
296 666.92-668.0 290 第一次碰上了这东西。
297 668.29-671.41 370 他在一五四五年出版的大树中提到了这种树。
298 671.78-674.51 350 但随即又说这是个无用且诡异的玩意儿，
299 674.86-679.75 240 像一种微妙的运算诡变问题在于没有这个诡异的玩意儿，
300 679.99-683.65 590 三次方程就解不了三次方程的求根公式里，
301 684.24-685.92 630 即使三个根都是实数，
302 686.55-688.29 60 计算过程中也会不可避免的。
303 688.35-688.89 420 经过虚数，
304 689.31-692.37 560 也就是说虚数是数学的必经之路，
305 692.93-694.61 360 哪怕你心里一百个不愿意，
306 694.97-696.02 60 也得从这条路上走。
307 696.08-696.26 590 过去，
308 696.85-699.07 590 数学家们捏着鼻子接受了虚述，
309 699.66-701.82 630 但给他起了个极具侮辱性的名字，
310 702.45-704.51 670 imaginary number 虚构的数。
311 705.18-707.34 560 这个词在英文里一直沿用至今，
312 707.9-710.6 550 中文翻译虚述其实已经算客气了。
313 711.15-712.11 550 你想想这个画面，
314 712.66-719.13 520 一群自诩代表人类最高理性的学者被迫承认他们的学科里必须塞进一个虚构的东西，
315 719.65-723.0 240 否则方程就解不开这种精神分裂式的折磨，
316 723.24-724.56 620 普通人怎么可能受得了。
317 725.18-727.16 360 后来人们发现虚述在电学、
318 727.52-729.26 550 量子力学中是不可或缺的，
319 729.81-733.18 710 没有虚数现代物理学的大厦会直接坍塌。
320 733.89-737.769 501 一个数学家觉得虚构的东西居然是宇宙运转的必要成分。
321 738.27-742.86 420 这种认知颠覆就像你一直以为前面的圆源是你幻想出来的。
322 743.28-745.62 420 结果发现他此时正睡在你的身边。
323 746.04-747.0 550 到了十七世纪，
324 747.55-750.43 510 数学又对人类发动了一次更大规模的攻击，
325 750.94-753.16 630 无穷知诺悖论听过吧。
326 753.79-757.15 480 古希腊哲学家之诺提出了一系列关于运动的悖论，
327 757.63-759.549 581 最著名的是阿基里斯与乌龟。
328 760.13-763.16 530 阿基里斯是希腊神话中跑得最快的英雄，
329 763.69-765.489 421 他让乌龟先跑一段距离，
330 765.91-768.81 530 然后他开始追当他追到乌龟的起点时，
331 769.34-770.78 610 乌龟又往前爬了一段。
332 771.39-773.07 299 当他追到乌龟的欣位置时，
333 773.369-774.75 490 乌龟又往前爬了一点，
334 775.24-775.84 300 以此类推，
335 776.14-777.76 650 他似乎永远追不上乌龟。
336 778.41-780.57 590 这个悖论困扰了人类两千多年，
337 781.16-783.38 240 因为他击中了人类直觉的一个弱点，
338 783.62-784.7 640 我们不理解无穷。
339 785.34-786.24 540 直到十七世纪，
340 786.78-789.66 630 牛顿与莱布尼茨各自独立发明了微积分，
341 790.29-792.69 600 人类才勉强找到一个应付无穷的工具。
342 793.29-797.17 120 微积分的核心概念是极限加无穷小牛顿用。
343 797.29-802.27 510 微积分计算了行星轨道莱布尼茨用微积分解决了最速绛线问题。
344 802.78-804.4 510 微积分的威力立竿见影，
345 804.91-808.21 530 但他有一个理论缺陷无穷小的量到底是什么？
346 808.74-810.24 420 牛顿有时候把它当成零，
347 810.66-811.98 660 有时候又让他做除数。
348 812.64-813.36 180 莱布尼茨说，
349 813.54-815.4 300 它是一个比任何正数都小，
350 815.7-816.96 460 但又不等于零的量。
351 817.42-820.24 480 这两个人自己都说不清楚自己在干什么，
352 820.72-823.3 580 但他们算出来的结果偏偏还是对的。
353 823.88-827.36 600 英国大主教贝克莱在一七三四年写了一本小册子，
354 827.96-829.16 540 标题叫分析学家，
355 829.7-831.32 680 致一位不信神的数学家，
356 832.0-835.12 510 其中把无穷小量嘲讽为已死量的幽灵。
357 835.63-835.87 300 他说，
358 836.17-837.01 120 微积分的逻辑，
359 837.13-838.69 600 比宗教信仰还不靠谱。
360 839.29-841.149 181 这句话虽然带有神学偏见，
361 841.33-842.59 550 但点中了一个要害。
362 843.14-844.64 299 微积分在诞生之初，
363 844.939-846.92 590 确实是建立在模糊基础之上的。
364 847.51-847.99 240 这种感觉。
365 848.23-848.89 300 就像什么呢？
366 849.19-851.05 590 你把开心远远娶回了家，
367 851.64-852.66 180 你知道他是男人，
368 852.84-853.98 640 他也知道自己是男人。
369 854.62-856.18 240 你父母也知道他是男人，
370 856.42-857.98 530 结果他生了个孩子，
371 858.51-858.99 240 微积芬，
372 859.23-863.62 500 就是这个孩子没人能解释这个男人是怎样生出的这个孩子，
373 864.12-865.44 480 但他确实就是生了。
374 865.92-869.76 690 工程师和物理学家们拿着微积分解决了无数实际问题。
375 870.45-872.55 570 但数学家们看着他心里发虚，
376 873.12-874.02 240 这种知其然，
377 874.26-877.08 580 不知其所以然的状态持续了近两百年，
378 877.66-879.46 630 直到十九世纪才得到解决。
379 880.09-882.37 590 十九世纪的数学家们终于受不了了。
380 882.96-883.8 300 威尔斯特拉斯、
381 884.1-886.69 560 戴德金康托尔这一批人站出来说，
382 887.25-888.51 410 不能再这么糊弄下去了，
383 888.92-891.2 690 必须将无穷的概念彻底严格化。
384 891.89-894.47 710 威尔斯特拉斯发明了 epsilon delta 语言，
385 895.18-898.18 610 用静态的不等式来描述动态的极限过程，
386 898.79-901.32 120 这个定义极其严谨严谨道。
387 901.44-903.36 580 第一次看的人觉得自己在看天书，
388 903.94-904.66 240 我们来感受一下，
389 904.9-913.4 420 一个数列 a n 的极限是 a 定义为对于任意给定的正数 epsilon 总存在一个正整数 n 使得当 n 大于 n 时，
390 913.82-917.72 180 a n 减去 a 的绝对值小于 epsilon 翻译成大白话，
391 917.9-919.7 240 就是不管你要多高的精度，
392 919.94-927.27 520 我总能找到一个位置之后的所有项都比这个精度更接近 a 这个定义绕开了无穷小这个概念，
393 927.79-930.79 420 用纯粹的有穷语言来描述无穷过程。
394 931.21-932.59 480 这个定义的革命性在于，
395 933.07-936.97 600 他将无穷从一种神秘的东西变成了一种操作过程。
396 937.57-937.81 240 无穷，
397 938.05-940.51 550 不再是你脑子里那个模糊的很大很大，
398 941.06-942.8 420 而是一套精确的逻辑规则。
399 943.22-944.66 120 但代价是普通人，
400 944.78-945.98 580 再也看不懂微积分了。
401 946.56-950.07 120 你中学课本里写的当 x 趋近于 a 时背后，
402 950.19-951.809 461 是这样一套天书般的定义。
403 952.27-955.69 610 所以当你高考时被极限题折磨的死去活来。
404 956.3-959.3 540 你实际上是在为两百年前的数学家们擦屁股，
405 959.84-960.8 120 他们在修补一个，
406 960.92-962.66 720 你根本不知道坏了的东西。
407 963.38-965.78 300 钱学森老先生说的人在笨，
408 966.08-967.1 120 十四岁还能学，
409 967.22-968.0 240 不会微积分吗？
410 968.24-970.46 600 哈哈哈钱老的阅历还是浅了啊，
411 971.06-971.3 420 无穷，
412 971.72-973.16 300 还有一个让人发疯的表现，
413 973.46-978.02 660 零点九九的循环等于一很多人一辈子都接受不了这个事实。
414 978.68-981.14 600 零点九九九后面跟着无穷多个九，
415 981.74-982.88 240 明明看着比一小啊，
416 983.12-984.02 540 怎么就等于一了，
417 984.56-986.36 240 各种证明方法都摆在那里。
418 986.6-988.52 660 三分之一等于零点三的循环，
419 989.18-991.88 540 两边乘以三一等于零点九的循环，
420 992.42-994.64 540 或者设 x 等于零点九的循环，
421 995.18-999.08 240 十 x 等于九点九的循环相减得九 x 等于九。
422 999.32-1001.72 480 所以 x 等于一证明完美无瑕，
423 1002.2-1004.0 480 但直觉上就是觉得不对。
424 1004.48-1004.84 540 为什么？
425 1005.38-1006.7 300 因为在普通人的大脑里，
426 1007.0-1009.1 480 无限接近和等于是两个概念。
427 1009.58-1012.82 420 我们觉得零点九的循环是在不断向一靠近，
428 1013.24-1014.8 540 但永远差那么一点点。
429 1015.34-1016.18 180 数学告诉你，
430 1016.36-1019.06 120 不在无穷的世界里无限接近，
431 1019.18-1022.95 580 就是等于与你的大脑没有进化出处理无穷的能力。
432 1023.53-1024.91 540 所以你觉得这是折磨。
433 1025.45-1025.69 420 然而，
434 1026.11-1027.97 630 前面这些都只是开胃菜，
435 1028.6-1029.32 180 真正的大餐。
436 1029.5-1031.9 500 在十九世纪末二十世纪初才端上来。
437 1032.4-1033.18 450 一八七二年，
438 1033.63-1037.17 550 德国数学家威尔斯特拉斯向世人展示了一个怪物，
439 1037.72-1038.68 240 一个处处连续，
440 1038.92-1040.48 560 但处处不可倒的函数。
441 1041.04-1041.52 430 什么意思？
442 1041.95-1043.81 360 就是这个函数的图像没有断点，
443 1044.17-1045.97 670 你连笔都不用抬就能画完。
444 1046.64-1048.649 531 但他又没有任何一个地方是光滑的，
445 1049.18-1050.26 360 每一处都是尖的，
446 1050.62-1051.4 120 还特么尖的，
447 1051.52-1052.0 620 毫无规律。
448 1052.62-1055.56 180 人类从牛顿时代以来一直默认连续的东西，
449 1055.74-1057.3 570 至少在某些地方是光滑的，
450 1057.87-1059.43 240 毕竟你用手摸一个曲面，
451 1059.67-1060.93 630 总会有平缓的地方吧。
452 1061.56-1062.46 420 我们周围的物体、
453 1062.88-1066.08 560 桌子球山坡不都是连续且光滑的吗？
454 1066.64-1067.6 300 威尔斯特拉斯说，
455 1067.9-1070.04 670 不数学不在乎你的手感，
456 1070.71-1072.81 540 这个函数在数学上完美合法，
457 1073.35-1075.18 490 但你永远画不出他的真实图像。
458 1075.67-1078.31 520 因为他在任何一个尺度下都是锯齿状的，
459 1078.83-1080.06 360 你把它放大一百倍，
460 1080.42-1081.5 700 它还是锯齿状，
461 1082.2-1083.04 360 放大一万倍，
462 1083.4-1084.3 530 仍然是锯齿状，
463 1084.83-1085.37 300 永远如此，
464 1085.67-1086.15 480 没有尽头。
465 1086.63-1088.61 690 这个函数为什么如此折磨人？
466 1089.3-1091.4 240 因为他完全摧毁了连续性这个词，
467 1091.64-1093.14 480 在人类心中的美好形象。
468 1093.62-1095.18 730 在威尔斯特拉斯之前，
469 1095.91-1098.73 590 数学家们对连续函数有一种温情的想象，
470 1099.32-1100.7 740 他们或许会有一些波折，
471 1101.44-1103.96 570 但总体上应该是温和的可预测的。
472 1104.53-1105.46 300 就像你妻圆圆，
473 1105.76-1106.6 300 虽然是个男的，
474 1106.9-1107.8 650 但确实很润，
475 1108.45-1110.79 470 但威尔斯特拉斯函数不是这样，
476 1111.26-1112.79 770 他更像是你妻圆圆。
477 1113.56-1114.58 510 前一秒是圆圆，
478 1115.09-1116.17 480 下一秒变成张飞，
479 1116.65-1118.09 460 下一秒又变成圆圆，
480 1118.55-1120.05 650 再下一秒又变成李逵。
481 1120.7-1121.72 240 这种病态的存在，
482 1121.96-1125.38 530 让数学家们一度怀疑自己的定义是不是出了问题，
483 1125.91-1127.41 419 但检查一遍又一遍，
484 1127.829-1128.55 600 定义没有错，
485 1129.15-1130.29 620 错的是我们的直觉。
486 1130.91-1132.65 360 我们以为连续意味着平滑，
487 1133.01-1136.01 370 但数学定义中的连续只要求函数值不跳跃，
488 1136.38-1137.28 550 不要求韩叔好看。
489 1137.83-1140.17 550 这种定义与直觉之间的巨大鸿沟，
490 1140.72-1142.699 671 就是数学折磨人的又一个源泉。
491 1143.37-1143.73 510 紧接着，
492 1144.24-1147.0 510 集何论的创始人康托尔又扔下了一颗炸弹。
493 1147.51-1149.79 510 他证明了自然数与偶数一样多，
494 1150.3-1151.65 660 什么玩意儿一样多。
495 1152.31-1154.35 600 自然数明明包含偶数和奇数，
496 1154.95-1156.51 180 偶数只占其中的一部分，
497 1156.69-1157.53 540 怎么还会一样多？
498 1158.07-1158.67 480 康托尔说，
499 1159.15-1161.61 540 判断无穷集合的大小不能靠数，
500 1162.15-1167.86 360 要靠一一对应每一个自然数 n 对应一个偶数二 n 他们能完美配对。
501 1168.22-1169.06 480 所以一样多。
502 1169.54-1172.06 690 这个结论让当时的数学界炸了锅，
503 1172.75-1175.21 420 克罗内克直接骂康托尔是科学骗子，
504 1175.63-1177.31 560 说他的理论是数学的瘟疫，
505 1177.87-1179.07 560 但康托尔没有停手，
506 1179.63-1181.73 300 他又证明了实数比自然数多，
507 1182.03-1182.99 540 而且是多得多，
508 1183.53-1184.55 240 自然数是可数，
509 1184.79-1184.97 420 无穷，
510 1185.39-1186.83 520 实数是不可数无穷。
511 1187.35-1188.57 180 我尼玛无穷，
512 1188.75-1189.83 479 居然还有大小之分，
513 1190.309-1193.25 660 这完全颠覆了人类对无穷这个概念的理解。
514 1193.91-1194.45 490 在此之前，
515 1194.94-1195.78 180 人们以为无穷，
516 1195.96-1196.919 361 就是一个很大的树，
517 1197.28-1197.94 610 到了就没了。
518 1198.55-1200.79 240 康托尔告诉你无穷有很多层，
519 1201.03-1202.83 540 而且层层递进没有尽头。
520 1203.37-1206.79 660 这个发现直接导致康托尔本人精神崩溃，
521 1207.45-1209.01 520 晚年多次住进精神病院，
522 1209.53-1212.41 620 一个研究无穷的人最终被无穷逼疯。
523 1213.03-1215.43 240 这种折磨连顶尖数学家都扛不住，
524 1215.67-1221.7 450 何况普通人康托尔的悲剧在某种程度上象征了数学与人类心智之间的张力，
525 1222.15-1225.51 520 你在探索一个超出人类心智容纳范围的领域，
526 1226.03-1229.35 640 你迟早要付出代价更大的风暴还在后面。
527 1229.99-1231.01 480 一九零零年前后，
528 1231.49-1234.19 520 数学家们发现集合论理出现了悖论，
529 1234.71-1236.45 240 最著名的就是罗素悖论，
530 1236.69-1236.93 180 考虑，
531 1237.11-1241.61 660 所有不包含自身的集合组成的集合 r 二二包含自身吗？
532 1242.27-1243.53 300 如果 r尔包含自身，
533 1243.83-1244.67 460 那么根据定义，
534 1245.13-1246.57 620 二不应该包含自身。
535 1247.19-1248.63 640 如果 r 不包含自身，
536 1249.27-1250.05 540 那么根据定义，
537 1250.59-1251.79 760 r 应该包含自身，
538 1252.55-1254.11 510 无论哪种情况都导致矛盾。
539 1254.62-1256.96 360 这个悖论简单到小学生都能看懂，
540 1257.32-1259.84 480 却足以摧毁整个集合论的基础。
541 1260.32-1265.6 540 因为它意味着数学家们精心构建的逻辑大厦中存在根本性的裂痕。
542 1266.14-1267.76 680 你不需要懂高深的数学，
543 1268.44-1270.24 380 你只需要懂一点基本的逻辑，
544 1270.62-1272.12 240 就能看到数学家在撒谎，
545 1272.36-1274.4 610 或者说数学在自相矛盾，
546 1275.01-1275.85 360 数学家们慌了，
547 1276.21-1277.92 240 开始修补地基策。
548 1278.16-1281.04 500 梅洛和弗兰克尔搞出了一套公理化集合论，
549 1281.54-1284.0 480 用几条精心设计的公理来规避悖论。
550 1284.48-1286.52 180 他们禁止了所有集合的集合。
551 1286.7-1290.89 540 这种危险的操作只允许在安全的范围内构造集合。
552 1291.43-1293.89 540 这就像你发现房子的地基有裂缝，
553 1294.43-1296.98 540 于是你在裂缝上面铺了一层地毯，
554 1297.52-1298.18 560 地毯很好看，
555 1298.74-1302.22 180 但你心里知道裂缝还在这种明知有问题，
556 1302.4-1303.84 300 但假装没问题的状态，
557 1304.14-1306.48 490 贯穿了整个二十世纪的数学基础。
558 1306.97-1308.35 360 但毒死悖论之后，
559 1308.71-1310.15 540 更大的问题浮出水面。
560 1310.69-1311.41 490 一九三一年，
561 1311.9-1316.22 550 二十五岁的奥地利逻辑学家戈德尔发表了他的不完备性定理。
562 1316.77-1323.49 530 这个定理翻译成大白话是在任何足够强大且自洽的数学系统中总存在一些命题。
563 1324.02-1324.62 580 他们是真的，
564 1325.2-1329.08 650 但你永远无法在这个系统内部证明他们这意味着什么？
565 1329.73-1333.39 180 意味着数学不是人类想象的那个完美无瑕的真理。
566 1333.57-1335.24 360 殿堂数学有死角、
567 1335.6-1336.08 530 有盲区，
568 1336.61-1338.41 700 又永远无法触及的黑暗地带。
569 1339.11-1340.85 580 希尔伯特曾经豪迈的宣称，
570 1341.43-1342.09 420 我们必须知道，
571 1342.51-1345.32 180 我们必将知道戈德尔用两个定理，
572 1345.5-1346.94 490 把这个梦想砸了个粉碎，
573 1347.43-1349.41 500 这都不是技术层面的挫折了，
574 1349.91-1351.95 600 这该称为哲学层面的崩塌。
575 1352.55-1353.09 650 在此之前，
576 1353.74-1357.34 520 数学家们隐隐觉得自己在朝着一个终极真理前进。
577 1357.86-1358.64 120 哥德尔之后，
578 1358.76-1359.42 570 大家意识到，
579 1359.99-1362.03 580 公理系统不是在描述唯一真理，
580 1362.61-1366.0 520 只是在定义不同的可能事界同一个命题。
581 1366.52-1368.14 500 在这个公理系统里是对的，
582 1368.64-1369.6 240 在另一个系统里，
583 1369.84-1370.68 620 可能就是错的。
584 1371.3-1372.98 630 数学真理变成了选择题。
585 1373.61-1375.23 470 戈德尔定理的杀伤力在于，
586 1375.7-1377.89 500 他攻击的不是数学的某个分支，
587 1378.39-1380.07 500 而是数学的整体信心。
588 1380.57-1382.31 180 你辛辛苦苦学了十几年，
589 1382.49-1385.5 550 数学建立了数学等于真理的信念。
590 1386.05-1386.95 480 然后有人告诉你，
591 1387.43-1387.85 500 不好意思，
592 1388.35-1389.91 620 有些真命题你证不出来，
593 1390.53-1392.27 380 而且这不是因为你不够聪明，
594 1392.65-1394.69 570 只是因为逻辑本身就有这种缺陷。
595 1395.26-1398.56 700 这种感觉就像你从小被教育要追求真理，
596 1399.26-1400.82 570 追寻宇宙的终极答案，
597 1401.39-1402.17 120 结果走到尽头，
598 1402.29-1403.67 690 发现答案不止一个，
599 1404.36-1406.31 540 而且有些答案你永远无法到达。
600 1406.85-1407.99 240 对于一个普通人来说，
601 1408.23-1410.21 480 这种认知打击是毁灭性的。
602 1410.69-1413.99 120 我们学习数学潜意识里总以为有一个正确答案，
603 1414.11-1415.19 460 在终点等着我们。
604 1415.65-1416.67 400 但数学告诉你，
605 1417.07-1419.11 300 有些题目根本没有标准答案，
606 1419.41-1420.55 600 因为根本解不出来，
607 1421.15-1422.26 180 比不完备性定理，
608 1422.44-1425.38 670 更反直觉的是巴拿赫塔斯基悖论。
609 1426.05-1426.71 460 一九二四年，
610 1427.17-1429.93 540 两位波兰数学家证明了一个看似荒唐的结论，
611 1430.47-1432.94 650 一个实心球可以被分成有限块，
612 1433.59-1439.17 530 通过旋转和平移重新拼成两个和原来一样大的球体积凭空翻倍，
613 1439.7-1440.24 420 你没听错，
614 1440.66-1442.34 500 数学上严格证明了这一点。
615 1442.84-1443.08 330 当然，
616 1443.41-1445.33 420 这些快是极其怪异的集合，
617 1445.75-1446.71 300 没有体积的概念，
618 1447.01-1448.63 530 在物理世界中不可能实现，
619 1449.16-1450.96 670 但数学不在乎物理世界，
620 1451.63-1453.61 660 数学只在乎逻辑上是否自洽。
621 1454.27-1458.29 180 这个悖论让那些还抱着数学必须描述现实世界想法的人，
622 1458.47-1459.19 590 彻底绝望了。
623 1459.78-1460.02 240 数学。
624 1460.26-1462.48 720 从根号二开始脱离感官经验，
625 1463.2-1464.34 380 经过两千年的发展，
626 1464.72-1465.44 370 到了二十世纪，
627 1465.81-1470.1 540 已经完全飘进了纯逻辑的世界与地面上的凡人再无交集，
628 1470.64-1473.4 480 你可以在纸上画出根号二的几何构造，
629 1473.88-1476.28 520 你能理解虚数在负平面上的位置，
630 1476.8-1480.88 430 你甚至可以用计算机模拟威尔斯特拉斯函数的近似图像，
631 1481.31-1483.71 600 但巴拿赫塔斯基悖论中的那些快，
632 1484.31-1485.84 590 你连想象都无法想象。
633 1486.43-1488.23 580 他们是集合论公理的产物，
634 1488.81-1490.13 550 不是感官世界的映射，
635 1490.68-1493.5 510 这标志着数学与直觉之间彻底决裂。
636 1494.01-1494.49 180 二十世纪，
637 1494.67-1496.65 360 还有一个关于无穷的重大发现，
638 1497.01-1498.63 530 连续铜假设的独立性。
639 1499.16-1500.36 240 康托尔提出一个问题，
640 1500.6-1503.42 420 在自然数的无穷和实数的无穷之间，
641 1503.84-1505.94 510 是否存在一种中间大小的无穷。
642 1506.45-1509.83 300 戈德尔在一九四零年证明了用现有的公理，
643 1510.13-1512.35 500 无法证明这种中间无穷不存在。
644 1512.85-1513.45 510 一九六三年，
645 1513.96-1516.36 240 科恩又证明了用现有的公理，
646 1516.6-1517.8 480 也无法证明它存在。
647 1518.28-1520.26 300 所以这个命题既不能被证实，
648 1520.56-1521.46 590 也不能被证伪。
649 1522.05-1523.07 420 它是真是假，
650 1523.49-1525.11 490 取决于你选哪套公里。
651 1525.6-1529.38 560 这是人类历史上第一次面对一个明确表述的数学问题，
652 1529.94-1532.22 330 却发现答案不是一个确定的东西，
653 1532.55-1533.33 670 而是一个选择。
654 1534.0-1535.47 180 你可以选有也可以选，
655 1535.65-1537.18 240 没有两种选择，
656 1537.42-1539.4 530 都能建立起自洽的数学体系。
657 1539.93-1540.29 540 到这里，
658 1540.83-1543.71 180 数学已经从描述世界的语言变成了定义。
659 1543.89-1550.31 470 可能世界的游戏普通人在学校学数学是抱着学知识学真理的心态来的。
660 1550.78-1552.82 240 结果发现学的不是真理，
661 1553.06-1553.78 650 只是规则，
662 1554.43-1556.289 411 而且这破规则还是人定的，
663 1556.7-1558.47 300 你连选择规则的权利都没有，
664 1558.77-1560.09 470 因为课本帮你选好了。
665 1560.56-1563.43 180 这种幻灭感不亚于你爱了十年的圆圆，
666 1563.61-1565.71 520 以男儿之身赤身站在你面前，
667 1566.23-1567.25 560 而且还比你的大。
668 1567.81-1568.29 120 讲到这里，
669 1568.41-1569.729 651 我想你应该已经明白了。
670 1570.38-1572.78 300 数学之所以对普通人如此折磨，
671 1573.08-1574.64 670 根源在于一个残酷的事实，
672 1575.31-1577.47 300 人类的大脑是为生存演化出来的，
673 1577.77-1579.09 520 非是为数学设计的。
674 1579.61-1583.03 470 我们的大脑擅长处理中等尺度的物体有限的数量，
675 1583.5-1584.64 480 连续平滑的运动，
676 1585.12-1588.72 420 三维的欧式空间超出这个范围的一切无穷。
677 1589.14-1593.34 570 高维不连续随机弯曲时空直觉根本没见过，
678 1593.91-1595.8 560 也没理由进化出对应的感知能力，
679 1596.36-1597.32 640 数学则不一样。
680 1597.96-1603.54 460 数学从本质上就是在系统的离开人类的认知舒适区去看直觉看不到的地方。
681 1604.0-1604.24 60 根号。
682 1604.3-1604.36 300 二、
683 1604.66-1605.62 610 背判了几何直觉，
684 1606.23-1607.97 600 吴琼小亮背叛了物理知觉，
685 1608.57-1610.07 180 戈德尔定里背叛了真理，
686 1610.25-1611.28 180 直觉概率论，
687 1611.46-1612.42 550 背判了因果之决。
688 1612.97-1614.53 300 每一次数学的重大突破，
689 1614.83-1617.35 580 都是对人类认知边界的一次暴力突破，
690 1617.93-1618.59 120 伴随而来的，
691 1618.71-1620.03 450 必然是痛苦和不适应。
692 1620.48-1622.22 420 但这里有一个容易忽略的事实，
693 1622.64-1624.14 120 数学并不是单调的，
694 1624.26-1625.22 510 变得更折磨人，
695 1625.73-1627.02 870 他也在不断被驯化。
696 1627.89-1630.35 500 负数在十三世纪是折磨人的东西，
697 1630.85-1634.54 640 现在小学生都会负数在十六世纪被视为虚构。
698 1635.18-1637.66 180 现在工程师天天用微积芬，
699 1637.84-1639.159 491 在十七世纪是玄学，
700 1639.65-1644.14 420 现在是理工科的基础课概率论在一百年前还是前沿学科，
701 1644.56-1646.7 180 现在高考都要考数学，
702 1646.88-1648.32 460 前沿永远是折磨人的，
703 1648.78-1651.12 300 因为前沿就是直觉还没有到达的地方，
704 1651.42-1653.04 360 但前沿会不断后退。
705 1653.4-1655.32 670 昨天的折磨变成今天的常识。
706 1655.99-1657.97 590 今天的折磨变成明天的常识，
707 1658.56-1664.34 450 人类文明就是这样一步步从认知的泥沼中爬出来的这个过程缓慢而痛苦，
708 1664.79-1665.42 590 但不可逆转。
709 1666.01-1668.72 180 所以当你觉得数学在折磨你的时候，
710 1668.9-1669.68 660 请不要灰心。
711 1670.34-1672.44 540 这种折磨恰恰说明你在进步，
712 1672.98-1674.21 420 你在离开那个小小的、
713 1674.63-1675.11 370 舒适的，
714 1675.48-1678.64 560 但狭隘的认知岛屿走向更广阔的海域，
715 1679.2-1680.88 510 数学不是故意要为难你，
716 1681.39-1682.83 240 他只是诚实的告诉你，
717 1683.07-1685.47 420 真实的世界比你想象的要大得多。
718 1685.89-1688.71 360 你以为的显然只在一个很小的尺度，
719 1689.07-1691.19 300 很窄的条件下成立数学，
720 1691.49-1692.87 420 在帮你打开那扇窗，
721 1693.29-1695.03 480 只是打开的方式有点粗暴。
722 1695.51-1696.89 630 最后问一个问题，
723 1697.52-1699.62 550 数学是什么时候开始反直觉的？
724 1700.17-1700.41 300 答曰，
725 1700.71-1702.15 470 从超过知识储备开始，
726 1702.62-1703.34 420 只要没文化，
727 1703.76-1705.5 180 一斤棉花和一斤铁一样重，
728 1705.68-1706.64 480 都是反直觉的。
729 1707.12-1708.98 590 其实数学从来不曾改变，
730 1709.57-1712.79 180 改变的是我们每一次你觉得数学在折磨你，
731 1712.97-1713.87 180 其实是你的认知，
732 1714.05-1715.97 560 在扩张这种扩张很痛苦，
733 1716.53-1720.13 360 但这是人类文明从蒙妹走向理性的必经之路。
734 1720.49-1723.31 540 我们每一个人在数学面前感受到的困惑、
735 1723.85-1727.46 580 挫败和不解都是这个宏大进程中的微小一步。
736 1728.04-1732.15 240 所以下次当你被一道数学题折磨的抓耳挠腮的时候，
737 1732.39-1732.93 570 请记住，
738 1733.5-1734.94 240 你不是在跟数学较劲，
739 1735.18-1736.92 560 你是在跟自己的无知较劲，
740 1737.48-1738.98 240 而跟自己的无知较劲，
741 1739.22-1742.58 120 恰恰是一个理性的人所能做的最理性的事儿，
742 1742.7-1742.94 520 对吧？
743 1743.46-1746.37 180 所以爱远远就大胆去爱别管，
744 1746.55-1747.27 特们是男是女。